Прогнозування ємності та кон`юктури ринку

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ
Московський Державний Університет Текстильний
імені А. М. Косигіна
кафедра економіки
ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ (варіант № 23, 1 і 2 частина)
По курсу:
«Прогнозування ємності та кон'юктури ринку».
Виконав: студент групи 47-03
Котляр Володимир
Перевірив:
Станкевич А.В.
Москва - 2007

Завдання № 1

Період	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Рівень ряду	16,7	17,2	17,5	19,4	16,8	19,3	16,5	19,4	18,1	16,1

На підставі даних про щотижневий попиті на текстильну продукцію:
1. побудувати графік (рис. 1) і візуально оцінити наявність у ньому тенденції;
2. перевірити наявність або відсутність у вихідному тимчасовому ряді тенденції за допомогою коефіцієнта Кендела;
3. якщо вихідний ряд є стаціонарним, то розрахувати точковий та інтервальний прогноз з періодом попередження прогнозу, рівним 1.
\ S
Рис. 1. Щотижневий попит на текстильну продукцію
При візуальній оцінці наявності у графіку тенденції можна відзначити сильну його наближеність до полиному високого порядку (шостого ступеня), використання якого недоцільно, оскільки отримані таким чином апроксимуючі функції будуть відображати випадкові відхилення, що суперечить змісту тенденції.
Таким чином, в результаті візуальної оцінки можна зробити висновок про відсутність у графіку тенденції.
2).

	t	Yt	Pt
	1	16,7	-
	2	17,2	1
	3	17,5	2
	4	19,4	3
	5	16,8	1
	6	19,3	4
	7	16,5	0
	8	19,4	6
	9	18,1	5
	10	16,1	0
разом		177	22

Визначимо розрахункове значення коефіцієнта Кендела (t _р):

t р =	4 × р	- 1,
	n × (n - 1)

де n - кількість рівнів у тимчасовому ряді.

t р =	4 × 22	- 1 = -0,0222
	10 × (10 - 1)

Коефіцієнт Кендела є випадковою величиною, відповідає нормальному розподілу і змінюється від -1 до +1. Теоретичними характеристиками коефіцієнта Кендела є математичне сподівання, що дорівнює нулю (М _t = 0) і дисперсія, що розраховується за формулою:

s t 2 =	2 × (2 × n + 5)	.
	9 × n × (n - 1)

s t 2 =	2 × (2 × 10 + 5)	=	50	= 0,062
	9 × 10 × (10 - 1)		810

Якщо зіставити розрахункове і теоретичне значення коефіцієнта Кендела, то може виникнути три ситуації.
1) (0 - t _d × ) <T _р <(0 + t _d × ),
де t _d - коефіцієнт довіри.
Даний варіант означає, що з імовірністю t _d в тимчасовому ряді немає тренда.
2) t _р <(0 - t _d × )
Даний варіант означає, що з обраної вірогідністю в ряді має місце спадна тенденція.
3) t _р> (0 + t _d × )
Даний варіант означає, що з обраної вірогідністю в ряді має місце зростаюча тенденція.
При обраної ймовірності 0,95 (95%) коефіцієнт довіри t _d = 1,96.
(0 - 1,96 × ) <T _р <(0 + 1,96 × )
- 0,488 <- 0,0222 <+ 0,488
Таким чином, з імовірністю 95% можна говорити про відсутність тенденції середнього рівня (тренду) у часовому ряді.
3)

t	Yt	Yt-Yсреднее	(Yt-Yсреднее) ^ 2
1	16,7	-1	1
2	17,2	-0,5	0,25
3	17,5	-0,2	0,04
4	19,4	1,7	2,89
5	16,8	-0,9	0,81
6	19,3	1,6	2,56
7	16,5	-1,2	1,44
8	19,4	1,7	2,89
9	18,1	0,4	0,16
10	16,1	-1,6	2,56
	177		14,6

Так як в тимчасовому ряді немає тенденції, то даний часовий ряд є стаціонарним процесом.
Оскільки в ряді відсутня тенденція, то точковий прогноз визначається як середня арифметична проста:

= =	Sy t	,
	n

де n - кількість рівнів ряду.

= =	177	= 17,7
	10

Інтервальний прогноз:
= + T _g × ,
де t _g - табличне значення за розподілом Стьюдента з числом ступенів свободи
К = n - 1 і рівнем значущості а; - Дисперсія тимчасового ряду.

=	S (y t - ) 2	=	14,6	= 1,46
	n		10

При заданому рівні значимості a = 0,05 (g = 1 - а = 1 - 0,05 = 0,95) і числі ступенів свободи К = 10 - 1 = 9, визначимо табличне значення t-критерію Стьюдента (див. Додаток 1 ). Табличне значення критерію Стьюдента t _g = 2,262.
Визначимо інтервальний прогноз.
= 17,7 - 2,262 × = + 14,8
= 24,16 + 2,262 × = + 20,6
Таким чином, з імовірністю 0,95 (95%) можна говорити про те, що на 11-й тиждень рівень ряду буде знаходитися в проміжку між 14,8 і 20,6.

Завдання № 2

Період	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Рівень ряду	11,0	10,8	10,7	10,5	11,7	12,2	12,5	12,1	13,0	13,7	13,0	14,0

За даними про щоденне обороті магазину «Тканини для дому»:
1. побудувати графік вихідного часового ряду і візуально оцінити наявність у ньому тенденції і можливий її тип. Згладити вихідний часовий ряд за допомогою ковзної середньої (крок згладжування дорівнює 3). Побудувати графік згладженого ряду і візуально оцінити можливий у ньому тип тенденції. Обидва графіка побудувати на одному кресленні (рис. 2). Результати обох візуальних оцінок зазначити у звіті;
2. оцінити за допомогою методу Фостера - Стюарта і коефіцієнта Кендела наявність тенденції (в середньому та дисперсії) у вихідному тимчасовому ряді. Порівняти отримані оцінки з оцінками, отриманими при виконанні пункту 1, і зробити остаточний свій висновок. Результати виведення зазначити у звіті;
3. по вихідним даним методом усереднення по лівій і правій половині визначити параметри лінійного тренда = А ₀ + а ₁ t. Побудувати графік вихідного часового ряду і отриманого лінійного тренда на одному кресленні (рис. 3). Оцінити візуально, чи відображає лінійний тренд тенденцію часового ряду? Свій висновок відобразити в звіті;
4. по вихідним даним методом МНК розрахувати параметри лінійного тренда = А ₀ + а ₁ t. Крім того, вибрати нелінійну модель, яка, на вашу думку, може добре описати тенденцію вихідного часового ряду. Розрахувати параметри вибраної вами нелінійної трендової моделі. Побудувати три графіки (вихідний часовий ряд, лінійна і обрана вами нелінійна трендова моделі) на одному кресленні (рис. 4). Визначити аналітичним способом, яка з двох трендових моделей (лінійна і нелінійна) найкращим чином апроксимує вихідний часовий ряд;
5. побудувати графік ряду відхилень е _t (рис. 5) і візуально оцінити відсутність у ньому тенденції. Оцінити адекватність обраної моделі тренду вихідного ряду на основі аналізу даних ряду відхилень;
6. розрахувати точкову і інтервальну прогнозну оцінку з періодом попередження, рівним t = 1.
1)

t	y t	Ковзна сума 3 рівнів	Змінна середня з 3 рівнів
1	11,9	-
2	12,6	36,7	18,35
3	12,2	38,7	19,35
4	13,9	40,4	20,2
5	14,3	42,8	21,4
6	14,6	44,2	22,1
7	15,3	44,3	22,15
8	14,4	45,5	22,75
9	15,8	46,9	23,45
10	16,7	49,9	24,95
11	17,4	50,2	25,1
12	16,1	-	-

\ S

Рис. 2. Щотижневий оборот магазину «Тканини для дому» (вихідний і згладжений ряд)

Після побудови графіка (рис. 2) можна зробити висновок про наявність зростаючої тенденції. Після побудови згладженого ряду стало більш наочно видно наявність зростаючої тенденції.
2). а) Метод Фостера - Стюарта

t	Yt	Ut	lt	S	D	Pt
1	11,9	-	-	-	-	-
2	12,6	1	0	1	1	1
3	12,2	0	0	0	0	1
4	13,9	1	0	1	1	3
5	14,3	1	0	1	1	4
6	14,6	1	0	1	1	5
7	15,3	1	0	1	1	6
8	14,4	0	0	0	0	5
9	15,8	1	0	1	1	8
10	16,7	1	0	1	1	9
11	17,4	1	0	1	1	10
12	16,1	0	0	0	0	9
	175,2			8	8	61

Висунемо нульову гіпотезу: в тимчасовому ряді (дані графи 2) немає тенденції середнього рівня і немає тенденції дисперсії. Для перевірки висунутої нульової гіпотези необхідно розрахувати за формулами і значення t ₁ і t _2. Але для цього треба знати значення μ, σ _1, σ _2. У додатку 1 наведені дані для n = 10 і для n = 15, а нам треба знайти дані для n = 12.
Для знаходження даних при n = 12 використовуємо принцип інтерполяції, припустивши, що ці дані в інтервалі від n = 10 до n = 15 змінюються лінійно, тобто рівномірно. Тому нам потрібно до значень даних при n = 10 додати їх зміни за два (2 = 12-10) кроку і отримати шукані даних.
Знайдемо μ для n = 12 наступним чином. Значення μ для n = 10, згідно з додатком 1, так само 3,858. Збільшення μ при зміні n на 2 кроки знайдемо наступним чином
.
Звідси μ (12) = μ (10) + Δμ = 3,858 +0,311 = 4,169. Аналогічним чином знайдемо значення для σ ₁ (12) = 1,381 і для σ ₂ (12) = 2,040. За формулами (2.7) знайдемо значення t ₁ і t ₂
= (8 - 4,169) / 1,381 = 3,326; = (8-0) / 2,040 = 3,92
Випадкові величини t ₁ і t ₂ мають розподіл Стьюдента з числом ступенів свободи К = n - 1 = 12 - 1 = 11 і рівнем значущості a, який може приймати значення 0,01; 0,05 і т.д. Приймемо рівень значущості (ймовірність, з якою дослідник може помилитися), рівний 0,05 (5%). На основі обраного рівня значимості а = 0,05 розрахуємо довірчу ймовірність: g = 1 - а = 1 - 0,05 = 0,95.
За кількістю ступенів свободи К = 11 і величиною довірчої ймовірності g = 0,95 за таблицею «Значення t-критерію Стьюдента» (Додаток 1) визначимо табличне значення випадкової величини (t _g): t _g = 2,201.
Розрахункові значення t ₁ і t ₂ зіставимо з табличним t _g.
Якщо зіставити розрахункові значення t ₁ і t ₂ з табличним t _g, то може виникнути чотири ситуації.
1) | t ₁ |> | t _g |.
Даний варіант означає, що нульова гіпотеза про відсутність у ряді тенденції відкидається і з ймовірністю g в тимчасовому ряді має місце тенденція дисперсії.
2) | t ₁ | <| t _g |.
Даний варіант означає, що нульова гіпотеза про відсутність у ряді тенденції приймається і з ймовірністю g в тимчасовому ряді немає тенденції дисперсії.
3) | t ₂ |> | t _g |.
Даний варіант означає, що нульова гіпотеза про відсутність у ряді тенденції відкидається і з ймовірністю g в тимчасовому ряді має місце тенденція в середньому.
4) | t ₂ | <| t _g |.
Даний варіант означає, що нульова гіпотеза про відсутність у ряді тенденції приймається і з ймовірністю g в тимчасовому ряді немає тенденції в середньому.
1) 3,326> 2,201; 3,92> 2,201 Þ нульова гіпотеза про відсутність у ряді тенденції відкидається і з ймовірністю g = 0,95 можна говорити, що в тимчасовому ряді має місце тенденція дисперсії
б) Метод коефіцієнта Кенделла
Визначимо розрахункове значення коефіцієнта Кендела (t _р):

t р =	4 × р	- 1,
	n × (n - 1)

де n - кількість рівнів у тимчасовому ряді.

t р =	4 × 61	- 1 = 0,85
	12 × (12 - 1)

Коефіцієнт Кендела є випадковою величиною, відповідає нормальному розподілу і змінюється від -1 до +1. Теоретичними характеристиками коефіцієнта Кендела є математичне сподівання, що дорівнює нулю (М _t = 0) і дисперсія, що розраховується за формулою:

s t 2 =	2 × (2 × n + 5)	.
	9 × n × (n - 1)

s t 2 =	2 × (2 × 12 + 5)	=	58	= 0,049
	9 × 12 × (12 - 1)		1188

Якщо зіставити розрахункове і теоретичне значення коефіцієнта Кендела, то може виникнути три ситуації.
1) (0 - t _d × ) <T _р <(0 + t _d × ),
де t _d - коефіцієнт довіри.
Даний варіант означає, що з імовірністю t _d в тимчасовому ряді немає тренда.
2) t _р <(0 - t _d × )
Даний варіант означає, що з обраної вірогідністю в ряді має місце спадна тенденція.
3) t _р> (0 + t _d × )
Даний варіант означає, що з обраної вірогідністю в ряді має місце зростаюча тенденція.
При обраної ймовірності 0,95 (95%) коефіцієнт довіри t _d = 1,96.
t _р> (0 + 1,96 × )
0,85> + 0,434
Таким чином, з імовірністю 0,95 (95%) можна говорити про наявність у ряді зростаючої тенденції в середньому (тренду).
У ході аналізу часового ряду на наявність в ньому тенденції середнього рівня (тренду) за методом Фостера - Стюарта і методом коефіцієнта Кенделла отримані аналогічні результати. Отже, в ряді відзначається зростаюча тенденція в середньому.
Таким чином, візуальна оцінка знайшла своє підтвердження в ході аналітичних розрахунків з використанням відповідних методів оцінки тимчасового ряду на наявність в ньому тенденції.
3). Метод усереднення по лівій і правій половині
Метод усереднення по лівій і правій половині - графічний метод, використовується для знаходження параметрів лінійного тренду.

Для знаходження параметрів а ₀ і а ₁ розділимо вихідні дані навпіл і по кожній половині розрахуємо середні значення фактора і рівня ряду.

1 =	1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6	= 3,5
	6

1 =	11,9 + 12,6 + 12,2 + 13,9 + 14,3 + 14,6	= 13,25
	6

2 =	7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12	= 9,5
	6

2 =	15,3 + 14,4 + 15,8 + 16,7 + 17,4 + 16,1	= 15,95
	6

У результаті розрахунків отримали дві точки: А (3,5; 13,25), В (9,5; 15,95).
Побудуємо графічну модель вихідного часового ряду і знайшовши точки А і В, проведемо через них пряму, яка буде відображати тенденцію вихідного часового ряду (рис. 3).
\ S

y t

Рис. 3. Щотижневий оборот магазину «Тканини для дому» (вихідний ряд і лінійний тренд)
З графіка видно, що побудований лінійний тренд відображає тенденцію вихідного ряду: зростаючий тренд.
Для знаходження параметра а ₀ продовжимо лінію до перетину з віссю ординат. Щоб знайти параметр а _1, перетворимо рівняння тренду:
а ₁ t = - А ₀ |: t

а 1 =	- А 0
	t

Задамося довільним значення параметра t (наприклад, t = 3,5). За графіком моделі знайдемо значення параметра а ₀ (а ₀ = 13,45). Розрахуємо значення параметра а _1.

а 1 =	13,25 - 11,8	= 0,41
	3,5

Таким чином, рівняння лінійного тренду буде мати наступний конкретний вигляд:
= 11,8 + 0,41 t.
4). Розрахунок параметрів лінійного тренду _t = А ₀ + а ₁ t по вихідним даним методом МНК.
Для знаходження параметрів будується система нормальних рівнянь.
= (175,2 * 650-78 * 1204,5) / (12 * 650-78 * 78) = 11,614;
= (12 * 1204,5-175,2 * 78) / (12 * 650-78 * 78) =- 0,459
Розрахунок параметрів параболічного тренду _t = А ₀ + а ₁ t + a ₂ t ² по вихідним даним методом МНК.

t	y	t 2	y t	t 4	yt 2	t 3
1	11,9	1	11,9	1	11,9	1
2	12,6	4	25,2	16	50,4	8
3	12,2	9	36,6	81	109,8	27
4	13,9	16	55,6	256	222,4	64
5	14,3	25	71,5	625	357,5	125
6	14,6	36	87,6	1296	525,6	216
7	15,3	49	107,1	2401	749,7	343
8	14,4	64	115,2	4096	921,6	512
9	15,8	81	142,2	6561	1279,8	729
10	16,7	100	167	10000	1670	1000
11	17,4	121	191,4	14641	2105,4	1331
12	16,1	144	193,2	20736	2318,4	1728
78	175,2	650	1204,5	60710	10322,5	6084

Для знаходження параметрів будується система нормальних рівнянь.
na ₀ + a ₁ St + a ₂ St ² = Sy;
a ₀ St + a ₁ St ² + a ₂ St ³ = Syt;
a ₀ St ² + a ₁ St ³ + a ₂ St ⁴ = Syt ^2.

а 0 =	Sy St 2 St 4 + St St 3 Syt 2 + Syt St 3 St 2 - St Syt St 4 - St 3 St 3 Sy - St 2 St 2 Syt 2	.
	n St 2 St 4 + St St 3 St 2 + St St 3 St 2 - St 2 St 2 St 2 - St 3 St 3 n - St St St 4

а 0 =	175,2 × 650 × 60 710 + 78 × 6084 × 10322,5 + 1204,5 × 6084 × 650 - 78 × 1204,5 × 60710 -
	12 × 650 × 60 710 + 78 × 6084 × 650 + 78 × 6084 × 650 - 650 × 650 × 650 -

- 6084 × 6084 × 175,2 - 650 × 650 × 10322,5	= 11,12.
- 6084 × 6084 × 12 - 78 × 78 × 60710

а 1 =	n Syt St 4 + St Syt 2 St 2 + Sy St 3 St 2 - St 2 Syt St 2 - Syt 2 St 3 n - Sy St St 4	.
	n St 2 St 4 + St St 3 St 2 + St St 3 St 2 - St 2 St 2 St 2 - St 3 St 3 n - St St St 4

а 1 =	12 × 1204,5 × 60 710 + 78 × 10322,5 × 650 + 175,2 × 6084 × 650 - 650 × 1204,5 × 650 -
	12 × 650 × 60 710 + 78 × 6084 × 650 + 78 × 6084 × 650 - 650 × 650 × 650 -

- 10322,5 × 6084 × 12 - 175,2 × 78 × 60710	= 0,67.
- 6084 × 6084 × 12 - 78 × 78 × 60710

а 2 =	n St 2 Syt 2 + St St 3 Sy + St Syt St 2 - Sy St 2 St 2 - Syt St 3 n - St St Syt 2	.
	n St 2 St 4 + St St 3 St 2 + St St 3 St 2 - St 2 St 2 St 2 - St 3 St 3 n - St St St 4

а 2 =	12 × 650 × 10322,5 + 78 × 6084 × 175,2 + 78 × 1204,5 × 650 - 175,2 × 650 × 650 -
	12 × 650 × 60 710 + 78 × 6084 × 650 + 78 × 6084 × 650 - 650 × 650 × 650 -

- 1204,5 × 6084 × 12 - 78 × 78 × 10322,5	= -0,016.
- 6084 × 6084 × 12 - 78 × 78 × 60710

Таким чином, параболічний тренд має наступний вигляд:
_t = 11,12 + 0,67 × t - 0,016 × t ^2.
\ S
Рис. 4. Щотижневий оборот магазину «Тканини для дому» (вихідний ряд, лінійний і параболічний тренд)

Проведемо оцінку апроксимації лінійного тренду та обраної параболічної трендової моделі за допомогою критерію найменшої суми квадратів відхилень, який має наступний вигляд:

S =	S (y t - ) 2	Þ min
	n - m

де n - кількість рівнів ряду; m - число параметрів трендової моделі.
Для лінійного тренда

S =	4,483	= 0,4483.
	12 - 2

Для параболічного тренду

S =	3,567	= 0,396.
	12 - 3

0,4483> 0,396; Þ параболічна модель найкращим чином апроксимує вихідний часовий ряд.
5)

t	y t		e t	P t	e t 2	(E t - t) 2	(E t - e t-1) 2
1	11,9	12,21	-0,31	-	0,0961	0,198025	-
2	12,6	12,62	-0,02	1	0,0004	0,024025	0,166
3	12,2	13,03	-0,83	1	0,6889	0,931225	0,107
4	13,9	13,44	0,46	1	0,2116	0,105625	0,200
5	14,3	13,85	0,45	0	0,2025	0,099225	0,870
6	14,6	14,26	0,34	1	0,1156	0,042025	0,045
7	15,3	14,67	0,63	1	0,3969	0,245025	0,000
8	14,4	15,08	-0,68	1	0,4624	0,664225	0,529
9	15,8	15,49	0,31	0	0,0961	0,030625	0,306
10	16,7	15,9	0,8	0	0,64	0,442225	0,111
11	17,4	16,31	1,09	1	1,1881	0,912025	1,182
12	16,1	16,72	-0,62	-	0,3844	0,570025	0,352
S	175,2	173,58	1,62	7	4,483	4,2643	3,868

Знайдемо величини випадкових відхилень для вихідного ряду за формулою: e _t = y _t - _t.
Побудуємо графік ряду відхилень e _t (рис. 5).
\ S

t

Рис. 5. Графік ряду відхилень e _t
З графіка видно, що в ряді відхилень e _t відсутня тенденція.
Оцінимо адекватність обраної трендової моделі (параболи) вихідного ряду на основі аналізу ряду відхилень e _t.
1) Коливання величини e _t носить випадковий характер. Виконання цієї умови означає, що величина e _t не містить елементів тренда. Перевіримо це умова за допомогою критерію поворотних точок. Точка вважається поворотною, якщо виконується одна з наступних умов:
e _t-1 <e _t> e _{t +1}
e _t-1> e _t <e _{t +1}
Позначимо поворотні точки як Р _t = 1. В іншому випадку P _t = 0. Знайдемо суму всіх поворотних точок P = SP _t.
Висунемо нульову гіпотезу - Н _0: коливання величини et носить випадковий характер. Для перевірки нульової гіпотези розрахуємо математичне сподівання і дисперсію поворотних точок.

М (Р) =	2 (n - 2)	=	2 × (12 - 2)	= 6,667.
	3		3

D (Р) =	16 n - 29	=	16 × 12 - 29	= 1,811.
	90		90

При ймовірності 0,95 (95%) коефіцієнт довіри t _d = 1,96.
Якщо розрахункове значення числа поворотних точок потрапляє в інтервал
(М (Р) - t _d ) <P <(М (Р) + t _d ), То з обраної ймовірністю можна стверджувати, що коливання величини e _t носить випадковий характер.
(6,667 - 1,96 ) <7 <(6,667 + 1,96 )
4,029 <7 <9.305
Таким чином, з імовірністю 95% можна стверджувати, що коливання величини e _t носить випадковий характер.
2) Розподіл величини e _t відповідає нормальному розподілу. Для цього використовуємо RS-критерій.
S = = = 0,706

RS р =	e max - e min	=	1.09-(- 0,83)	= 2,777.
	S		0,706

Визначимо табличне значення RS-критерію за таблицею «Значення RS-критерію для n від 10 до 30» (Додаток 3).

RS 12Н = 2,67 + 2 ×	3,18 - 2,67	= 2,772
	20 - 10

RS 12В = 3,85 + 2 ×	4,49 - 3,85	= 3,978
	20 - 10

Висунемо нульову гіпотезу: величина e _t відповідає нормальному розподілу. Для цього має виконуватися умова: RS _12Н <RS _р <RS _12В.
Оскільки ця умова виконується (2,772 <2,777 <3,978), то з вірогідність 0,95 (95%) можна стверджувати, що розподіл величини e _t відповідає нормальному розподілу.
3) Математичне сподівання величини e _t дорівнює нулю. Для перевірки цієї умови висунемо нульову гіпотезу - М _0: М (e _t) = 0, після чого визначимо розрахункове значення величини t _р:

t р =	- 0	× ,
	S e

де - Середня арифметична проста величини e _t; S _e - середнє квадратичне відхилення величини e _t.

	Se t	=	1.62	= 0,135
	n		12

S _e = = = 0,623

t р =	0,135 - 0	× = 0,75.
	0,623

Знайдемо табличне значення t _т (Додаток 1) по розподілу Стьюдента при довірчій ймовірності g = 1 - а = 1 - 0,05 = 0,95 і числі ступенів свободи К = n - 1 = 12 - 1 = 11. У даному випадку t _т = 2,201.
Зіставимо табличне і розрахункове значення. Якщо t _h <t _т, то нульова гіпотеза приймається, і навпаки.
0,75 <2,201, Þ з імовірністю 0,95 (95%) приймається нульова гіпотеза, тобто М (e _t) = 0.
4) Незалежність членів ряду між собою (перевірка тимчасового ряду на відсутність автокореляції). Для перевірки даної умови використовується критерій Дарбіна - Уотсона, розрахункове значення якого визначається наступним чином:

d р =	S (e t - e t-1) 2	=	8,4451	= 1,88.
	S e t 2		4,483

d _р ¢ = 4 - 1,88 = 2,12.
По таблиці «Розподіл критерію Дарбіна - Уотсона» для позитивної автокореляції (для 5% рівня значущості) »знаходимо табличне значення d _т. При n = 12 і V = 1 нижнє і верхнє значення розподілу будуть відповідно рівні d ₁ = 1,08 і d ₂ = 1,36.
Порівняємо розрахункове та табличне значення: d _р> d ₂ (2,12> 1,36). Таким чином, з імовірністю 95% можна говорити про відсутність у ряді автокореляції.
6). Розрахуємо точкову прогнозну оцінку з періодом попередження t = 1 для лінійного тренда ( _t = 11,614 + 0,459 × t):
_{(N + t)} = а ₀ + а ₁ × (n + t);
_{(12 +1)} = 11,614 + 0,459 × (12 + 1) = 17,581.
Інтервальний прогноз для лінійного тренда:
_{(N + t)} = _{(N + t)} + t _т × S × ,
де n - число рівнів ряду в періоді підстави прогнозу; t - період попередження прогнозу; t _т - табличне значення за Стьюдента з рівнем значущості (а) і числом ступенів свободи (К = n - 2); S - Стандартна помилка тренда.
t _т × = К ¢; Þ _{(N + t)} = _{(N + t)} + S × К ¢.
При t = 1 і n = 12 за таблицею «Значення К для оцінки довірчих інтервалів прогнозу при ймовірності g = 0,9 (лінійний тренд)» (Додаток 6) До ¢ = 2,1274.
S = = = 0,67.
Інтервальний прогноз для лінійного тренда
_{(12 +1)} = 17,581 + 0,67 × 2,1274 = 19,0064
_{(12 +1)} = 17,581 - 0,67 × 2,1274 = 16,1556
16,1556 < ₁₃ <19,0064, тобто з імовірністю 0,9 (90%) можна стверджувати, що на 13-ий день оборот магазину «Тканини для дому» складе від 16,1556 до 19,0064 Д.Є.
_t = 11,12 + 0,67 × t - 0,016 × t ^2.
Розрахуємо точкову прогнозну оцінку з періодом попередження t = 1 для параболічного тренда ( _t = 11,12 + 0,67 × t - 0,016 × t ^2):
_{(N + t)} = а ₀ + а ₁ × (n + t) + а ₂ × (n + t) ^2;
₁₃ = 11,12 + 0,67 × 13 - 0,016 × 13 ² = 17,126.
Інтервальний прогноз для нелінійного (параболічного) тренда:
_{(N + t)} = _{(N + t)} + S × К ¢.
При t = 1 і n = 12 за таблицею «Значення К для оцінки довірчих інтервалів прогнозу при ймовірності g = 0,9 (параболічний тренд)» (Додаток 7) До ¢ = 2,636.
S = = = 0,63.
Інтервальний прогноз для нелінійного (параболічного) тренду
₁₃ = 17,126 + 0,63 × 2,636 = 18,7867
₁₃ = 17,126 - 0,63 × 2,636 = 15,4653
15,4653 < ₁₃ <18,7867, тобто з імовірністю 0,9 (90%) можна стверджувати, що на 13-ий день оборот магазину «Тканини для дому» складе від 15,4653 до 18,7867 Д.Є.